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<!DOCTYPE html>

<title>Fehlerrechnung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fehlerrechnung</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Es ist praktisch nie möglich, exakt zu messen. Die <a href="Messabweichung" title="Messabweichung">Abweichungen</a> der <a href="Messwert" title="Messwert">Messwerte</a> von ihren <a href="Wahrer_Wert" title="Wahrer Wert">wahren Werten</a> wirken sich auf ein <a href="Messergebnis" title="Messergebnis">Messergebnis</a> aus, so dass dieses ebenfalls von seinem wahren Wert abweicht. Die <b>Fehlerrechnung</b> versucht, die Einflussnahme der Messabweichungen auf das Messergebnis quantitativ zu bestimmen.

</p><p>Messabweichungen wurden früher als <a href="Messfehler" class="mw-redirect" title="Messfehler">Messfehler</a> bezeichnet.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die Bezeichnung „Fehlerrechnung“ ist auf diesen Umstand zurückzuführen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abgrenzung">Abgrenzung</h2></div>

<p>Der Begriff Fehlerrechnung kann verschieden verstanden werden.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<ul><li>Häufig will man ein Messergebnis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span> aus einer <a href="Messgr%C3%B6%C3%9Fe" title="Messgröße">Messgröße</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> oder im allgemeinen Fall aus mehreren Messgrößen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \ldots \ }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \ldots \ }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0265e955745e8f1071ebd077ba4190179041ea5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.849ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \ldots \ }" loading="lazy"></span> mittels einer bekannten Gleichung (<a href="Mathematische_Formel" class="mw-redirect" title="Mathematische Formel">mathematische Formel</a>) berechnen. Bei fehlerhafter Bestimmung der Eingangsgröße(n) wird auch die Ausgangsgröße falsch bestimmt, denn die Einzelabweichungen werden mit der Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=y(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c66fc1db874a7395b28e294c7db30f51bcd8df20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.548ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=y(x)}" loading="lazy"></span> bzw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \ldots \ )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \ldots \ )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54424e9779201c895cbb5fd363d6d4970d20bb6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \ldots \ )}" loading="lazy"></span> übertragen und führen zu einer Abweichung des Ergebnisses. Man nennt dieses <a href="Fehlerfortpflanzung" title="Fehlerfortpflanzung">Fehlerfortpflanzung</a>. Unter diesem Stichwort werden Formeln angegeben, getrennt für die Fälle, dass die Abweichungen (im Sprachgebrauch teilweise noch als Fehler bezeichnet) bekannt sind als</li></ul>

<dl><dd><ol><li><a href="Systematische_Abweichung" title="Systematische Abweichung">systematische Abweichungen</a> (systematische Fehler),</li>

<li><a href="Fehlergrenze" title="Fehlergrenze">Fehlergrenzen</a> oder</li>

<li>Unsicherheiten infolge <a href="Zuf%C3%A4llige_Abweichung" title="Zufällige Abweichung">zufälliger Abweichungen</a> (zufälliger Fehler).</li></ol></dd>

<dd>Kennzeichnend ist hier: Man hat im allgemeinen Fall <i>mehrere</i> Größen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"></span> und zu jeder Größe <i>einen</i> Messwert.</dd></dl>

<ul><li>Wenn man die Messung einer Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> unter gleichen Bedingungen wiederholt, stellt man häufig fest, dass sich die Einzelmesswerte unterscheiden; sie streuen. Sie haben dann</li></ul>

<dl><dd><dl><dd>zufällige Abweichungen (zufällige Fehler).</dd></dl></dd></dl>

<dl><dd>Nachfolgend werden Formeln angegeben zur Berechnung eines von diesen Abweichungen möglichst befreiten Wertes und zu dessen verbleibender <a href="Messunsicherheit" title="Messunsicherheit">Messunsicherheit</a>.</dd>

<dd>Kennzeichnend ist hier: Man hat zu <i>einer</i> Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> <i>mehrere</i> Messwerte.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Normalverteilung">Normalverteilung</h2></div>

<p>Die Streuung von Messwerten kann man sich in einem <a href="Histogramm" title="Histogramm">Histogramm</a> veranschaulichen. Man teilt den Bereich der möglichen Werte in kleine Bereiche mit der Breite <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> ein und trägt zu jedem Bereich auf, wie viele gemessene Werte in diesem Bereich vorkommen, siehe Beispiel in nebenstehendem Bild.

</p>

<p>Bei der <i>Gauß-</i> oder <i><a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a></i> (nach <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a>) lässt man die Anzahl der Messungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\rightarrow \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c6337428441dbe11ca917f0d9115e8cf3a78f40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.001ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\rightarrow \infty }" loading="lazy"></span> gehen und zugleich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\rightarrow 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\rightarrow 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b83d189a06045079577048132bcc629909aefc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.774ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\rightarrow 0}" loading="lazy"></span>. Bei dem Diagramm geht der gestufte Verlauf über in eine stetige Kurve. Diese beschreibt

</p>

<ul><li>die Dichte der Messwerte in Abhängigkeit vom gemessenen Wert und außerdem</li>

<li>für eine zukünftige Messung, welcher Wert mit welcher Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist.</li></ul>

<p>Mit der mathematischen Darstellung der Normalverteilung lassen sich viele statistisch bedingte natur-, wirtschafts- oder ingenieurwissenschaftliche Vorgänge beschreiben. Auch zufällige Messabweichungen können in ihrer Gesamtheit durch die Parameter der Normalverteilung beschrieben werden. Diese Kenngrößen sind

</p>

<ul><li>der <i><a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a></i> der Messwerte. Dieser ist gleich der Abszisse im Maximum der Kurve. Zugleich liegt er, nach Beseitigung aller systematischen Abweichungen, an der Stelle des <a href="Wahrer_Wert" title="Wahrer Wert">wahren Wertes</a>.<sup id="cite_ref-D1319-1_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-D1319-1-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>die <i><a href="Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" class="mw-redirect" title="Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Standardabweichung</a></i> als Maß für die Breite der Streuung der Messwerte. Sie ist so groß wie der horizontale Abstand eines Wendepunktes vom Maximum. Im Bereich zwischen den Wendepunkten liegen etwa 68 % aller Messwerte.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Unsicherheit_einer_einzelnen_Messgröße"><span id="Unsicherheit_einer_einzelnen_Messgr.C3.B6.C3.9Fe"></span>Unsicherheit einer einzelnen Messgröße</h2></div>

<p>Das Folgende<sup id="cite_ref-D1319-1_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-D1319-1-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-D1319-3_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-D1319-3-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> gilt bei Abwesenheit von systematischen Abweichungen und bei normalverteilten zufälligen Abweichungen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schätzwerte_der_Parameter"><span id="Sch.C3.A4tzwerte_der_Parameter"></span>Schätzwerte der Parameter</h3></div>

<p>Hat man von der Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{j}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73fffa4919c0d6268f6a8d9f38c04dd3296fd0a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.037ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle v_{j}}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j=1\dots N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j=1\dots N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0a975c69ce6619b5b3a64646cb017fdb495d8e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:10.807ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j=1\dots N}" loading="lazy"></span>, so kommt man gegenüber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {v}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c524716eca605a9b652cdb7a90357594b846157.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.243ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {v}}}" loading="lazy"></span>

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {v}}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{v_{j}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd0db2b03c4741a2c58f54f1d704aa9d0aefaa07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:13.407ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {v}}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{v_{j}}}" loading="lazy"></span> .</dd></dl>

<p>Die <a href="Empirische_Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Empirische Standardabweichung">empirische Standardabweichung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"></span> der einzelnen Messwerte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{j}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73fffa4919c0d6268f6a8d9f38c04dd3296fd0a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.037ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle v_{j}}" loading="lazy"></span> ergibt sich aus

</p>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{j=1}^{N}{(v_{j}-{\overline {v}}\,)^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6acc81af9619410faf7e6d138c816968de44d34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:27.045ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{j=1}^{N}{(v_{j}-{\overline {v}}\,)^{2}}}}}" loading="lazy"></span> .</dd></dl>

<p>Diese Größen sind Schätzwerte für die Parameter der Normalverteilung. Durch die endliche Zahl der Messwerte unterliegt auch der Mittelwert noch zufälligen Abweichungen. Ein Maß für die Breite der Streuung des Mittelwertes ist die Unsicherheit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"></span>

</p>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u={\frac {1}{\sqrt {N}}}\cdot s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfb61d4b94c2199c90b88366369d0a4d0500da8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:12.033ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle u={\frac {1}{\sqrt {N}}}\cdot s}" loading="lazy"></span> .</dd></dl>

<p>Diese wird umso kleiner, je größer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span> wird. Sie kennzeichnet zusammen mit dem Mittelwert einen Wertebereich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {v}}-u\ \ldots \ {\overline {v}}+u}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {v}}-u\ \ldots \ {\overline {v}}+u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddb4fad6e769edd9ca59ae2c6ca5a37c885cbdc1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.484ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {v}}-u\ \ldots \ {\overline {v}}+u}" loading="lazy"></span>, in dem der Mittelwert der Messgröße nach einer vielfachen Wiederholung der Messungen mit den oben angegebenen ca. 68 % Wahrscheinlichkeit erwartet wird.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vertrauensniveau">Vertrauensniveau</h3></div>

<p>Diese Erwartung wird nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erfüllt. Will man Letztere auf ein konkretes Vertrauensniveau festlegen, so muss man einen Bereich (ein <a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervall</a>) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {v}}-t\cdot u\ \ldots \ {\overline {v}}+t\cdot u}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {v}}-t\cdot u\ \ldots \ {\overline {v}}+t\cdot u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed631b617b4f1e06ca5f81ba32db2b003fdfa039.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.521ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {v}}-t\cdot u\ \ldots \ {\overline {v}}+t\cdot u}" loading="lazy"></span> festlegen, in dem der wahre Wert mit dieser Wahrscheinlichkeit liegt. Je höher die Wahrscheinlichkeit gewählt wird, desto breiter muss der Bereich sein. Der Faktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> berücksichtigt das gewählte Vertrauensniveau und die Anzahl der Messungen insoweit, als mit einer kleinen Zahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span> die statistische Behandlung noch nicht aussagekräftig ist. Wählt man die oben genannte Zahl 68 % als Vertrauensniveau und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N>12}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N>12}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/621881eb7159fb72f1551e7706b1d24433347146.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N>12}" loading="lazy"></span>, so ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=1{,}0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=1{,}0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/868564ac25e235fe46e4df9e91ee305917daa344.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.91ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t=1{,}0}" loading="lazy"></span>. Für das in der Technik vielfach verwendete Vertrauensniveau von 95 % und für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N>30}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N>30}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8682e6fdb24c0f1ea77034cf1c5c437ee4a59997.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N>30}" loading="lazy"></span> ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=2{,}0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=2{,}0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c51979dd5ee63c36e9d517923092c559db23cf05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.91ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t=2{,}0}" loading="lazy"></span>. Eine Tabelle mit Werten von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> (<a href="Studentsche_t-Verteilung" title="Studentsche t-Verteilung">Studentsche t-Verteilung</a>) befindet sich in <sup id="cite_ref-D1319-3_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-D1319-3-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Ausgleichsrechnung" class="mw-redirect" title="Ausgleichsrechnung">Ausgleichsrechnung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Burghart Brinkmann: <i>Internationales Wörterbuch der Metrologie: Grundlegende und allgemeine Begriffe und zugeordnete Benennungen (VIM), Deutsch-englische Fassung ISO/IEC-Leitfaden 99:2007</i>. Beuth, 2012; Anmerkung 2 in Definition 2.16</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Dietmar Mende, Günter Simon: <i>Physik: Gleichungen und Tabellen.</i> 16. Aufl., Hanser, 2013, S. 416</span>

</li>

<li id="cite_note-D1319-1-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-D1319-1_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-D1319-1_3-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">DIN 1319-1, <i>Grundlagen der Messtechnik – Teil 1: Grundbegriffe</i>, 1995</span>

</li>

<li id="cite_note-D1319-3-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-D1319-3_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-D1319-3_4-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">DIN 1319-3, <i>Grundlagen der Messtechnik – Teil 3: Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgröße, Messunsicherheit</i>, 1996</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4153837-7">4153837-7</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

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</main>

</div>

</body></html>